Course glossary

arbitrage

arbitrage opportunities, arbitrage opportunity

Arbitrage — это получение прибыли из разницы цен на один и тот же актив или из несогласованности цен без риска.

Это ситуация, когда можно использовать расхождение цен или условий на разных рынках, чтобы получить прибыль без принятия рыночного риска. В теории финансов арбитраж часто служит базовым ограничением для моделей.

Отсутствие арбитража — одно из ключевых предположений в ценообразовании деривативов. Оно позволяет строить согласованные модели и выводить формулы для опционов.

Термин используется как часть интуиции вокруг модели Блэка—Шоулза и рыночного ценообразования.

status: candidate · lectures: 2

at the money

At the money — это опцион, у которого цена исполнения близка к текущей цене базового актива.

Так называют опцион, для которого страйк примерно равен текущей цене базового актива. В этом состоянии внутренняя стоимость обычно близка к нулю.

Это одна из базовых классификаций опционов наряду с in the money и out of the money. Она помогает быстро понимать, как соотносится страйк с рыночной ценой.

В лекции термин появляется в перечне стандартных состояний опциона при обсуждении выплат. Он нужен как ориентир для сравнения разных типов опционов.

status: candidate · lectures: 1

at-the-money forward option

at-the-money forward options

At-the-money forward option — это опцион со страйком, равным форвардной цене базового актива на дату оценки.

Это вариант определения at-the-money, где сравнение ведут не с текущей спотовой ценой, а с форвардной ценой. Такой опцион имеет нулевую форвардную внутреннюю стоимость на момент оценки.

Это удобная точка отсчёта в формулах ценообразования и при сравнении опционов на разные активы. Термин часто используют, когда модель записывают через форвардную цену.

В лекции этот термин появляется при выводе формулы Блэка—Шоулза и обсуждении вариантов записи цены опциона. Он помогает связать страйк с форвардной ценой в модели.

status: candidate · lectures: 1

backward Kolmogorov equation

Обратное уравнение Колмогорова — это уравнение для функции ожидания будущего результата марковского процесса.

Это уравнение в частных производных, которое описывает, как меняется ожидаемое значение функции от будущего состояния процесса при движении назад по времени. Оно естественно возникает для марковских процессов.

В стохастическом анализе и финансовой математике оно связывает динамику случайного процесса с уравнениями для цен и ожиданий. Это один из стандартных путей к уравнению Блэка—Шоулза.

В лекции это уравнение упоминается как математическая форма, к которой сводится задача после преобразований. Оно служит мостом между стохастической моделью и PDE-подходом к ценообразованию.

status: candidate · lectures: 1

binary options

Binary options — это опционы, у которых выплата имеет два возможных уровня, чаще всего фиксированная сумма или ноль.

Это производные инструменты, где выплата зависит от выполнения условия и принимает один из двух заранее заданных уровней. Их также называют digital options.

Такие опционы удобны для анализа пороговых выплат и часто используются как строительные блоки в теории ценообразования. Они помогают понять, как из простых выплат собираются более сложные структуры.

В лекции binary options упоминаются вместе с названием digitals как пример простого типа опциона. Это помогает связать термин с формой выплаты.

status: candidate · lectures: 1

binomial model

Биномиальная модель — это дискретная модель, в которой цена актива на каждом шаге принимает одно из двух значений.

Это модель, где эволюция цены разбивается на последовательность шагов с двумя возможными исходами на каждом шаге: ростом или падением. Она часто используется как дискретная аппроксимация более сложных моделей.

Она помогает интуитивно понять хеджирование, риск-нейтральное ценообразование и переход к непрерывным моделям. Многие идеи лекции опираются на знакомые результаты из этой схемы.

В лекции на биномиальную модель ссылаются как на уже известный материал, чтобы связать новые выводы с предыдущими темами. Она служит отправной точкой для сравнения с моделью Блэка—Шоулза.

status: candidate · lectures: 2

Black-Scholes

Black-Scholes — это классическая модель ценообразования опционов и связанный с ней набор формул и уравнений.

Это стандартная финансовая модель, описывающая цену опциона через цену базового актива, страйк, время до экспирации, процентную ставку и волатильность. Под этим названием подразумевается и модель, и её формулы.

Модель стала базой для анализа опционов и для вывода подразумеваемой волатильности. Она задаёт общий язык для обсуждения теоретической цены и рыночных наблюдений.

Модель используется как центральная рамка для обсуждения формулы, уравнения и обратного вывода implied volatility.

status: candidate · lectures: 1

Black-Scholes equation

Black-Scholes equation — это дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет цена опциона в модели Блэка—Шоулза.

Это уравнение, связывающее изменение цены опциона с параметрами базового актива, временем и волатильностью. Оно является математическим ядром модели Блэка—Шоулза.

Через это уравнение получают аналитическую формулу цены и строят численные методы расчёта. Оно показывает, как модель формализует безарбитражное ценообразование.

Equation упоминается как промежуточный шаг между предположениями модели и конечной формулой.

status: candidate · lectures: 1

Black-Scholes formula

Black-Scholes formulae

Black-Scholes formula — это аналитическая формула для теоретической цены опциона в модели Блэка—Шоулза.

Это закрытая формула, которая выражает цену опциона через параметры рынка и волатильности. В лекции она используется как основной вычислительный результат модели.

Формула позволяет оценивать опционы и, наоборот, извлекать implied volatility из рыночной цены. Она является одним из центральных инструментов количественного анализа деривативов.

Формула обсуждается как ключ к пониманию ценообразования и к обратному выводу волатильности.

status: candidate · lectures: 1

Black-Scholes model

Black-Scholes model — это модель безарбитражного ценообразования опционов с постоянной волатильностью и рядом упрощающих предположений.

Это стохастическая модель, описывающая динамику цены базового актива и цену опциона в условиях без арбитража. Она лежит в основе формулы и уравнения Блэка—Шоулза.

Модель задаёт стандартный язык для оценки опционов и для извлечения implied volatility из рынка. Она также служит отправной точкой для сравнения с более сложными моделями.

Модель используется для объяснения того, как из рыночной цены получить implied vol и почему предположение о постоянной волатильности важно.

status: candidate · lectures: 1

Black-Scholes pricing formula / Black-Scholes formulas

Black-Scholes formulas, Black-Scholes pricing formula

Формула Блэка—Шоулза — это закрытая формула для расчёта цены опциона в стандартной модели.

Это аналитическое выражение для цены опциона, получаемое из модели Блэка—Шоулза. Оно даёт цену через параметры базового актива, страйк, время до экспирации, волатильность и ставку.

Формула позволяет быстро оценивать опционы без численного решения уравнения в каждом случае. Она стала базовым ориентиром для практики и для сравнения более сложных моделей.

В лекции после преобразования уравнения получают формулу ценообразования для call и put. Именно к этому результату ведёт вывод через PDE и граничные условия.

status: candidate · lectures: 1

Bond price

The bond price is the current value of a bond in the market.

The bond price is the amount paid today to buy a bond or the value assigned to it in the market. In pricing models, it often serves as a numeraire or discounting reference.

Bond prices are central to discounting future cash flows and comparing assets on a present-value basis. They also appear in hedging and measure-change arguments.

The lecture uses the bond price as part of the notation in the pricing setup. It appears as a basic market quantity alongside the risky asset and the Brownian motion.

status: candidate · lectures: 1

boundary conditions

Граничные условия — это дополнительные условия на границах области решения, необходимые для однозначного решения уравнения.

Это условия, которые задают поведение искомой функции на границах области по переменной или при предельных значениях. Они дополняют дифференциальное уравнение и делают задачу корректно поставленной.

Без граничных условий часто нельзя получить единственное решение или интерпретировать его как цену опциона. В задачах ценообразования они отражают поведение выплаты в крайних случаях.

В лекции граничные условия используются вместе с уравнением Блэка—Шоулза при выводе формулы цены. Они задают поведение решения для call и put на границах.

status: candidate · lectures: 1

Brownian motion

Brownian motion under \(Q\)

Броуновское движение — это случайный непрерывный процесс, используемый для моделирования случайных колебаний во времени.

Это математическая модель случайного движения, в которой изменения на малых интервалах непредсказуемы и имеют статистически заданные свойства. В финансах её используют как основу для стохастических моделей цен.

Броуновское движение помогает описывать случайность в динамике активов и волатильности. Оно лежит в основе многих моделей, включая Блэка—Шоулза.

Термин помогает связать волатильность со случайным процессом и понять стохастическую природу модели.

status: candidate · lectures: 1

call option

call

Call option — это опцион, дающий право купить базовый актив по фиксированной цене в установленный срок.

Это производный контракт, который даёт держателю право, но не обязанность, купить базовый актив по страйку до или в дату экспирации. Выплата зависит от того, превышает ли рыночная цена страйк.

Call option — один из базовых типов опционов, на котором удобно объяснять выплату, внутреннюю стоимость и ценообразование. Он часто служит примером при выводе формул.

В лекции call option используется при записи функции выплаты и при обсуждении формулы Блэка—Шоулза для call и put. Это один из двух основных примеров в выводе.

status: candidate · lectures: 2

Call payoff / max of ST minus E or zero

Call payoff, max of ST minus E or zero

A call payoff is max(ST − E, 0), the amount paid by a call option at maturity.

The call payoff is the terminal value of a call option. It equals the positive part of the stock price at maturity minus the strike price, written as max(ST − E, 0).

It is the basic payoff used to price and hedge call options. Understanding the payoff is the starting point for deriving the option value.

The lecture introduces the call payoff explicitly when discussing option pricing at maturity. It is one of the two standard payoffs used in the Black-Scholes setup.

status: candidate · lectures: 1

Carry trade

carry trades

A carry trade is a strategy that seeks profit from differences in funding and investment returns.

A carry trade is a position that borrows in one asset or currency and invests in another with a higher expected return. In idealized discussions, it is often treated as an arbitrage-like strategy.

It is a useful example when discussing arbitrage and funding effects in finance. It helps connect abstract pricing ideas to market practice.

The lecture mentions carry trades as an example of arbitrage in the broader discussion of no-arbitrage pricing. It serves as a concrete market illustration rather than a main derivation step.

status: candidate · lectures: 1

Cash flows

future cash flows, intermediate cash flow

Cash flows are the payments or receipts generated by an asset or contract over time.

Cash flows are the amounts of money paid or received at different times. In valuation, they are the basis for present-value calculations.

Pricing often reduces to discounting expected future cash flows under an appropriate measure. Understanding the timing of cash flows is essential for derivative valuation.

The lecture refers to future cash flows and notes when intermediate cash flows are absent. This supports the move from payoff description to pricing under the chosen measure.

status: candidate · lectures: 1

Cauchy-Euler equation

Уравнение Коши—Эйлера — это линейное дифференциальное уравнение специального вида с коэффициентами, зависящими от переменной.

Это класс уравнений, в которых коэффициенты при производных имеют степенной вид и часто допускают замену переменной для упрощения. Такие уравнения удобно сравнивать с другими специальными формами.

Оно полезно как ориентир при распознавании структуры уравнения и выборе метода решения. В учебном курсе его могут приводить как аналогию для преобразований.

В лекции оно упоминается как пример другого специального уравнения, чтобы показать, что преобразование к стандартному виду — обычный приём. Это помогает увидеть сходство с уравнением теплопроводности.

status: candidate · lectures: 1

Change of measure

changes of measure, reweighting

A change of measure is a transformation that replaces one probability measure with another, usually by reweighting probabilities.

A change of measure is a method for rewriting probabilities and expectations under a new measure. It is typically implemented using a Radon-Nikodym derivative.

It is a central technique in stochastic calculus and mathematical finance because it can simplify drift terms and pricing calculations. Many no-arbitrage arguments rely on it.

The lecture presents change of measure as the main mechanism behind the derivation and repeatedly describes it as reweighting probabilities. It is tied directly to the Radon-Nikodym derivative and the exponential martingale.

status: candidate · lectures: 1

Change of numeraire

A change of numeraire is a pricing method that switches the reference asset used to measure values.

A numeraire is the asset used as the unit of account, and changing the numeraire means expressing prices relative to a different reference asset. This often comes with a corresponding change of probability measure.

It can simplify pricing formulas and make certain assets or payoffs easier to analyze. It is a standard technique in advanced derivative pricing.

The lecture mentions change of numeraire as part of the broader pricing toolkit. It appears alongside the numeraire technique as a way to reframe the valuation problem.

status: candidate · lectures: 1

closed-form solution

closed-form solutions

Закрытое решение — это явное аналитическое выражение для искомой величины.

Это решение, которое можно записать в виде конечной формулы через известные функции и операции, без необходимости численного подбора. Оно противопоставляется чисто численным методам.

Наличие закрытого решения упрощает анализ, сравнение параметров и быстрые расчёты. В финансовой математике это особенно ценно для ценообразования и проверки моделей.

В лекции этот термин появляется как желаемый результат преобразований уравнения Блэка—Шоулза. Получение closed-form solution показывает, что задачу можно решить аналитически.

status: candidate · lectures: 1

Conditional expectation

Conditional expectation is the expected value of a random variable given a specified information set.

Conditional expectation is the average value of a random variable after conditioning on known information. In stochastic processes, it is often taken with respect to a filtration or a past time.

It is the basic tool for pricing, martingales, and dynamic models because it formalizes prediction from available information. Many results in the lecture are expressed through conditional expectations.

The lecture uses conditional expectation in the discussion of martingales, describing it as the last known value in the relevant filtration. This supports the intuition behind the process density argument.

status: candidate · lectures: 1

constant coefficient partial differential equation

Уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами — это PDE, где коэффициенты при производных не зависят от переменных.

Это класс уравнений в частных производных, в которых множители при производных являются постоянными числами. Такие уравнения обычно проще анализировать и преобразовывать.

Постоянные коэффициенты часто делают задачу более симметричной и позволяют применять стандартные методы решения. В учебных выводах это помогает свести сложную модель к знакомому виду.

В лекции этот термин используется при описании формы уравнения после преобразований. Он подчёркивает, что полученное PDE имеет более простой и управляемый вид.

status: candidate · lectures: 1

Contingent claim

A contingent claim is a derivative contract whose payoff depends on future market outcomes.

A contingent claim is a financial claim with a payoff that depends on the realization of some future event or asset price. Options are a common example.

Contingent claims are the main objects priced in derivative theory. They are the reason tools like no-arbitrage and measure change are introduced.

The lecture uses the term as another name for the derivative being priced in the Black-Scholes setting. It appears when the payoff is being described in general terms.

status: candidate · lectures: 1

continuous dividend yield / continuous and constant dividend yield D

continuous and constant dividend yield D, continuous dividend yield

Непрерывная дивидендная доходность — это дивидендная доходность, начисляемая непрерывно во времени.

Это параметр модели, описывающий постоянный поток дивидендов, выраженный как непрерывная доходность. Он уменьшает ожидаемый рост цены актива в модели.

Учет непрерывных дивидендов меняет формулы ценообразования и условия хеджирования. Без этого параметра модель может неверно описывать активы, по которым регулярно выплачиваются дивиденды.

В лекции этот параметр вводится как модификация стандартной модели Блэка—Шоулза. Он нужен, чтобы учесть активы с непрерывным дивидендным потоком в формуле цены.

status: candidate · lectures: 1

Continuous time

Continuous time is a modeling setting where variables evolve at every instant rather than at separate time points.

Continuous time models describe evolution over an unbroken time axis, allowing calculus and stochastic differential equations to be used. This contrasts with discrete-time models such as binomial trees.

It is the natural setting for the Black-Scholes framework and many stochastic calculus methods. It allows the lecture to move from discrete intuition to continuous pricing.

The lecture explicitly states that the model is in continuous time before introducing the stochastic and measure-change machinery. This sets the stage for Brownian motion and the Black-Scholes PDE.

status: candidate · lectures: 1

cumulative distribution function / функция распределения

cumulative distribution function, функция распределения

CDF — это функция распределения, то есть вероятность того, что случайная величина не превысит заданное значение.

Это функция, которая для каждого значения x возвращает вероятность того, что случайная величина примет значение не больше x. Она полностью описывает распределение случайной величины.

CDF часто используется в формулах вероятностей и в аналитических выражениях для цен опционов. Она позволяет записывать результаты через стандартные функции распределения.

В лекции CDF появляется при записи формулы цены в явном виде. Через неё выражают вероятностные компоненты решения Блэка—Шоулза.

status: candidate · lectures: 1

D1 / обозначение D1; в контексте лекции — модельный параметр или промежуточная величина

D1, d1 and d2, d2, обозначение D1; в контексте лекции — модельный параметр или промежуточная величина

D1 — обозначение некоторой величины или параметра в модели.

Это краткое обозначение переменной, параметра или промежуточного результата в формуле. По одному фрагменту лекции точный смысл D1 не удаётся надёжно восстановить.

Такие обозначения важны для чтения формул и отслеживания, как меняются величины в модели. Без контекста их нельзя интерпретировать слишком буквально.

D1 упоминается как уже известная величина, что указывает на повторно используемое обозначение внутри вывода или расчёта.

status: candidate · lectures: 1

Deflate prices / deflate our prices

Deflate prices, deflate our prices

To deflate prices means to divide prices by a reference asset or discount factor to simplify valuation.

Deflating prices means rescaling asset values by a chosen numeraire or discount factor. This produces a transformed price process that is easier to analyze.

Deflation is a standard step in pricing arguments because it can turn a discounted price into a martingale under the right measure. That property is central to no-arbitrage valuation.

The lecture uses the phrase when introducing the transformation needed for the measure-change argument. It is part of the setup that leads to the process density and equivalent measure.

status: candidate · lectures: 1

delta

Дельта — это чувствительность стоимости опциона к изменению цены базового актива.

Это первая производная цены дериватива по цене базового актива или её практическая оценка. Она показывает, насколько изменится стоимость инструмента при малом изменении цены актива.

Дельта помогает оценивать риск позиции и строить хеджирование. В учебных моделях она служит базовой мерой чувствительности.

Дельта обсуждается вместе с другими «греческими» параметрами и используется для объяснения хеджирования.

status: candidate · lectures: 2

delta hedging

delta-hedging

Дельта-хеджирование — это хеджирование, при котором позицию в базовом активе подбирают так, чтобы снизить чувствительность портфеля к малым изменениям цены.

Это стратегия управления риском, при которой количество базового актива выбирают так, чтобы компенсировать первую производную стоимости опциона по цене актива. В идеале портфель становится мало чувствительным к небольшим движениям рынка.

Дельта-хеджирование лежит в основе вывода модели Блэка—Шоулза и объясняет, как из динамики портфеля получить уравнение для цены. Оно связывает теорию ценообразования с практикой управления риском.

В лекции дельта-хеджирование используется как ключевой приём для построения безарбитражного портфеля. Через него выводят уравнение и обсуждают, почему риск можно локально нейтрализовать.

status: candidate · lectures: 1

delta-hedged portfolio

Дельта-хеджированный портфель — это портфель, чья чувствительность к малым изменениям цены базового актива локально нейтрализована.

Это портфель, составленный из опциона и позиции в базовом активе так, чтобы его первая чувствительность к цене актива была близка к нулю. Такой портфель используют для локального хеджирования риска.

Он позволяет показать, как из безрисковой или почти безрисковой позиции выводится условие на цену опциона. Это центральный шаг в аргументации модели Блэка—Шоулза.

В лекции этот портфель создают в рассуждении об отсутствии арбитража. Он служит промежуточным объектом, из которого получают уравнение для цены.

status: candidate · lectures: 1

Derivative prices

price of a derivative as an expectation

The values assigned to derivative contracts, often computed as an expected discounted payoff.

Derivative prices are the market values of contracts whose payoff depends on an underlying asset or state variable. In this lecture, they are presented as quantities that can be computed as expectations.

Pricing derivatives is the main goal of the lecture, and the expectation form connects stochastic modeling with valuation. It also links the model for asset dynamics to the contract value.

The lecture uses derivative prices as the target quantity to generate and compute, including the idea of pricing a derivative as an expectation. This frames the later martingale and discounting arguments.

status: candidate · lectures: 1

derivative pricing

Ценообразование производных инструментов — это определение справедливой цены контракта на основе модели рынка и условий отсутствия арбитража.

Это область финансовой математики, где цену опциона или другого дериватива выводят из динамики базового актива, ставок и ограничений на торговлю. Обычно используют модели, а не прямое наблюдение цены.

Она позволяет оценивать контракты до их исполнения и сравнивать разные стратегии хеджирования. Без неё трудно формализовать риск и справедливую стоимость производных инструментов.

В лекции этот термин задаёт общий контекст обсуждения модели Блэка—Шоулза и её формулы. Он объединяет уравнение, хеджирование и аналитическое решение в одну задачу.

status: candidate · lectures: 1

derivatives

Деривативы — это финансовые контракты, цена которых зависит от базового актива или другого показателя.

Это инструменты, чья стоимость определяется ценой, ставкой, индексом или иным базовым параметром. К ним относятся опционы, фьючерсы, свопы и другие контракты.

Деривативы используют для хеджирования, спекуляции и арбитража, а также для управления рисками. Их оценка требует понимания чувствительности и динамики базового актива.

Деривативы — общий предмет обсуждения, на котором строятся примеры с дельтой, волатильностью и хеджированием.

status: candidate · lectures: 1

Deterministic interest rates

Interest rates that are assumed to be known in advance and not random.

Deterministic interest rates are interest rates modeled as fixed, time-dependent quantities rather than stochastic processes. Under this assumption, discounting is simpler and more direct.

This assumption simplifies the pricing formulas used in the lecture. It helps isolate the role of asset randomness while keeping the discount factor predictable.

The lecture notes that the pricing argument works as long as interest rates are deterministic. This sets the environment for the expectation-based valuation result.

status: candidate · lectures: 1

Diffusion

The stochastic part of a continuous-time model that captures random fluctuations.

A diffusion is a continuous-time stochastic process with random motion, typically represented by a Brownian-motion-driven term. It describes the unpredictable component of a model.

Diffusions are the standard way to model uncertainty in asset prices and other financial quantities. They are the basis for the stochastic dynamics used in pricing.

The lecture describes stock prices as having a diffusion component and contrasts it with the drift term. This supports the later move to a pure diffusion setting.

status: candidate · lectures: 1

Diffusion coefficient

The coefficient multiplying the stochastic or random part of a diffusion model.

The diffusion coefficient is the parameter that determines the size of the random fluctuations in a diffusion process. In stochastic differential equations, it multiplies the noise term.

It controls how volatile the modeled quantity is and therefore affects pricing and risk. In finance, it is a key parameter in the asset dynamics.

The lecture mentions drift and diffusion coefficients together, using them as the basic parameters of the model. The diffusion coefficient is the part associated with randomness.

status: candidate · lectures: 1

Diffusion processes

Stochastic processes whose evolution includes a continuous random diffusion term.

Diffusion processes are continuous-time stochastic processes with a random component driven by noise. They are commonly used to model quantities that evolve smoothly but unpredictably.

They provide the mathematical framework for modeling asset price uncertainty in the lecture. Understanding them is necessary for the pricing arguments that follow.

The lecture refers to diffusion processes when discussing the class of models used for stock prices and related quantities. The term appears as part of the broader stochastic modeling setup.

status: candidate · lectures: 1

Diffusion term

The part of a model that captures random fluctuations in continuous time.

The diffusion term is the stochastic part of a differential equation or process, usually the term driven by Brownian motion. It represents random variation rather than predictable change.

It is the source of uncertainty in the model and therefore central to pricing and risk analysis. Separating it from drift helps clarify the structure of the process.

The lecture contrasts a pure diffusion term with the drift component when setting up the model. This distinction is used to simplify the pricing discussion.

status: candidate · lectures: 1

Dirac delta function

Функция Дирака — это обобщённая функция, моделирующая бесконечно узкий импульс с единичной площадью.

Это не обычная функция, а распределение, которое равно нулю почти везде и сосредоточено в одной точке в идеализированном смысле. В вычислениях она служит для описания точечных источников и мгновенных воздействий.

В математической физике и финансовой математике дельта-функция удобна для записи локализованных эффектов и переходов к предельным случаям. Она помогает компактно формулировать решения и преобразования.

В лекции термин появляется при рассмотрении предельного случая, когда параметр τ становится очень малым. Здесь дельта-функция помогает описать поведение ядра или источника в пределе.

status: candidate · lectures: 1

Discounted asset prices

discounted stock price

Asset prices adjusted for the time value of money by dividing by a discount factor.

Discounted asset prices are asset values converted into present-value terms using a discount factor. In the lecture, the stock price is written in discounted form as part of the pricing argument.

Discounting is what makes the martingale pricing framework work in this setting. It turns future payoffs into comparable present values.

The lecture states that the discounted stock price is a martingale and gives the explicit form S_t / e^(rt). This is a key step in the valuation setup.

status: candidate · lectures: 1

discounted strike price

Discounted strike price — это цена исполнения опциона, приведённая к текущему моменту с учётом дисконтирования.

Это текущая стоимость будущей цены исполнения, полученная умножением strike на дисконтирующий множитель. В формулах она позволяет сравнивать будущий платёж с текущей ценой актива.

В оценке опционов дисконтирование нужно, чтобы корректно сопоставлять денежные потоки в разные моменты времени. Без него цена контракта была бы выражена в несопоставимых величинах.

В лекции этот термин используется в записи вида S minus the discounted strike price. Он нужен для вывода формулы стоимости опциона в модели с непрерывным временем.

status: candidate · lectures: 1

Discounting

The conversion of a future payment into its present value.

Discounting is the process of translating a future amount of money into present-value terms using an interest rate or discount factor. It reflects the time value of money.

It is essential for comparing payments that occur at different times and for pricing derivatives. The lecture uses discounting to connect future payoffs with current prices.

The lecture explicitly defines discounting as getting the present value of a future payment. This prepares the way for discounted asset prices and expectation-based pricing.

status: candidate · lectures: 1

dividends

dividends on the underlying

Дивиденды — это часть прибыли, выплачиваемая владельцам акций, а в моделях опционов они могут влиять на цену базового актива.

Дивиденды — это денежные или иные выплаты держателям ценных бумаг, чаще всего акций. В моделях финансового рынка их учитывают как фактор, изменяющий динамику цены базового актива.

Наличие дивидендов влияет на стоимость опционов и на условия хеджирования. Для корректной оценки важно понимать, выплачиваются ли дивиденды и как часто.

В лекции отдельно рассматривается случай, когда дивиденды по базовому активу выплачиваются дискретно, а также случай без дивидендов. Это влияет на формулы цены и на граничные условия.

status: candidate · lectures: 2

drift

driftless, turn off the drift

Дрифт — это систематическая направленная составляющая случайного процесса.

Это средний тренд или направленное смещение процесса во времени. В стохастических моделях дрифт описывает ожидаемое изменение величины без учёта случайных колебаний.

Дрифт важен для понимания ожидаемой динамики цены и для построения моделей доходности. Его часто труднее оценить, чем волатильность, потому что он скрыт шумом наблюдений.

В курсе дрифт рассматривается вместе с волатильностью как одна из ключевых характеристик случайного процесса цены.

status: candidate · lectures: 1

Drift coefficient

The coefficient multiplying the drift term in a stochastic model.

The drift coefficient is the parameter that determines the strength of the deterministic trend in a stochastic process. It appears in the part of the equation that governs average movement.

It is one of the basic parameters of the model and affects the expected evolution of the process. In finance, it helps describe the asset's average growth rate.

The lecture mentions drift and diffusion coefficients together as the parameters nu and sigma. The drift coefficient is the part associated with the trend term.

status: candidate · lectures: 1

drift rate

Drift rate — это параметр, описывающий средний направленный рост или спад случайного процесса.

Это коэффициент при детерминированной части стохастического процесса, который задаёт его среднее направление изменения. В моделях цен активов он отражает ожидаемый тренд в отсутствие случайных колебаний.

Дрейф важен для описания средней динамики процесса и для построения математической модели цены. В задачах оценки производных он помогает отделить ожидаемое движение от случайной компоненты.

В лекции drift rate упоминается при обсуждении параметров модели и различий между альтернативными предположениями о динамике цены. Он входит в уравнения, из которых выводится последующая формула.

status: candidate · lectures: 1

dynamic hedging strategy

Dynamic hedging strategy — это хеджирование с периодическим изменением состава портфеля для поддержания нужной защиты от риска.

Это способ управления портфелем, при котором позиции в активах и производных инструментах регулярно корректируют по мере изменения цены и времени. Цель — сохранять заданную чувствительность портфеля к риску.

Динамическое хеджирование лежит в основе многих моделей ценообразования опционов. Оно показывает, как теоретически можно уменьшать риск за счёт последовательной ребалансировки.

В лекции этот термин приводится как пример практического применения математической модели. Он связан с идеей уменьшения риска через постоянную корректировку позиции.

status: candidate · lectures: 1

Equity options

Options written on equities such as stocks or equity indices.

Equity options are derivative contracts whose underlying asset is an equity instrument, usually a stock or stock index. Their payoff depends on the value of that equity at a specified time.

They are a standard example of the derivative pricing methods discussed in the lecture. Understanding them helps connect the abstract model to familiar financial contracts.

The lecture mentions equity options as part of the broader set of derivatives being priced. They appear as an application of the valuation framework rather than as a separate topic.

status: candidate · lectures: 1

Equivalent probability measure / appropriate probability measure

Equivalent probability measure, appropriate probability measure, equivalent probability measures, equivalent probability distribution Q

An equivalent probability measure is a new probability measure that preserves which events are impossible, while changing their probabilities otherwise.

Two probability measures are equivalent when they have the same null sets, so an event has probability zero under one if and only if it has probability zero under the other. In practice, this means the measures differ only by reweighting.

Equivalence is the condition that makes measure change usable in pricing and stochastic modeling. It ensures the new measure is mathematically compatible with the original one.

The lecture searches for an equivalent probability measure under which the pricing problem becomes simpler. This is the target measure in the change-of-measure derivation.

status: candidate · lectures: 1

European option

An option that is exercised only at its expiry date.

A European option is a derivative that can be exercised only at maturity, not before. Its payoff is determined by the underlying asset value at the expiry date.

It is one of the simplest and most common contracts in option pricing. The lecture uses it as a concrete example for the valuation method.

The lecture frames the pricing problem as trying to price a European option. This gives a standard contract on which to illustrate the expectation-based approach.

status: candidate · lectures: 1

European payoff

European payoff — это выплата, зависящая только от цены базового актива в момент expiry.

Это функция, которая задаёт размер выплаты по европейскому опциону в момент истечения срока действия. До expiry она не реализуется и не зависит от промежуточных значений цены.

Такой payoff является базовым объектом для вывода формул цены европейских опционов. Он задаёт конечное условие, от которого затем находят стоимость в более ранние моменты.

В лекции термин используется в связи с европейским call option и конечным условием задачи. Именно этот payoff задаёт, что должно получиться в момент expiry.

status: candidate · lectures: 1

Expectation

expected value

The average value of a random variable under a probability distribution.

Expectation is the probability-weighted average of a random variable. It summarizes the typical value of a random outcome under a given model.

It is the central mathematical operation in the lecture's pricing formula. Derivative values are expressed as expectations of discounted payoffs.

The lecture repeatedly uses expectation when discussing how to compute prices and portfolio values. It appears both as a target quantity and as part of the valuation method.

status: candidate · lectures: 1

expiry

expiry time, T

Expiry — это момент окончания срока действия опциона или другого срочного контракта.

Это дата или время, после которого контракт прекращает действовать. Для опциона expiry определяет последний момент, когда можно реализовать право, предусмотренное договором.

Срок истечения напрямую влияет на стоимость производного инструмента и на форму его выплаты. Он также задаёт конечное условие в математической модели.

В лекции expiry упоминается как одна из ключевых характеристик контракта наряду со strike. От него зависит, когда определяется payoff и как строится решение назад во времени.

status: candidate · lectures: 2

Exponential martingale

\(M_t^{\theta}\), M_s

An exponential martingale is a special martingale formed by exponentiating a stochastic process in a way that preserves the martingale property.

An exponential martingale is a martingale obtained by taking an exponential of a stochastic process, usually with a compensating term so the result has mean one. It is a standard object in continuous-time probability.

It is often the density process used in measure changes, especially in finance. In the lecture, it provides the mechanism that turns one probability measure into another.

The lecture identifies the process density with an exponential martingale and uses that fact to justify the change of measure. The notation \(M_t^{\theta}\) is used for this object in the derivation.

status: candidate · lectures: 1

Feynman-Kac formula

A formula connecting solutions of some PDEs with expected values of stochastic processes.

The Feynman-Kac formula is a mathematical result that represents the solution of certain partial differential equations as an expectation of a stochastic process. It provides a bridge between PDE methods and probabilistic valuation.

It is a foundational tool in derivative pricing because it justifies expectation-based formulas for contract values. It connects the stochastic model of the asset to the price of the derivative.

The lecture names the Feynman-Kac formula as part of the pricing framework. It appears as the theoretical result behind computing derivative prices as expectations.

status: candidate · lectures: 1

Filtered probability space

A probability space together with a filtration describing information available over time.

A filtered probability space is a probability space equipped with a filtration, which is a family of increasing information sets over time. It provides the mathematical setting for stochastic processes adapted to information flow.

It is the standard framework for modeling time-dependent uncertainty in finance. The lecture uses it to formalize what is known at each time when pricing assets and derivatives.

The lecture refers to the full filtered probability space as part of the setup for the stochastic model. This establishes the information structure used in the pricing argument.

status: candidate · lectures: 1

Filtration

filtration F_t

A time-indexed family of information sets describing what is known at each moment.

A filtration is an increasing family of sigma-algebras that represents the information available as time passes. It formalizes the idea of observing a process progressively over time.

It is essential for defining adapted processes, martingales, and trading strategies in continuous-time finance. The lecture uses it to describe the information flow behind pricing.

The lecture says you have access to the filtration F_t and identifies it with information flow. This is part of the probabilistic structure underlying the model.

status: candidate · lectures: 1

forward Kolmogorov equation

Forward Kolmogorov equation — это уравнение для изменения во времени плотности или распределения вероятностей процесса.

Это дифференциальное уравнение, которое описывает, как во времени меняется распределение вероятностей состояния случайного процесса. Его также называют уравнением Фоккера — Планка в некоторых контекстах.

Оно позволяет находить вероятностные характеристики процесса и связывать динамику случайной величины с её распределением. В финансовой математике такие уравнения помогают выводить уравнения для цен производных.

В лекции это уравнение появляется в ходе вывода связи между стохастической моделью и PDE для цены опциона. Оно служит промежуточным шагом в математической конструкции.

status: candidate · lectures: 1

forward price

Forward price — это цена, зафиксированная сегодня для поставки или расчёта актива в будущем.

Это цена, по которой стороны договариваются совершить сделку в будущем на заранее определённую дату. Она отражает текущие ожидания рынка с учётом времени до поставки и стоимости денег.

Forward price используется как ориентир в оценке производных инструментов и в сравнении с текущей ценой актива. Он помогает связать сегодняшнюю стоимость с будущим расчётом.

В лекции forward price появляется в финальной формуле как величина, к которой приводится выражение для стоимости. Он служит удобной рыночной точкой отсчёта.

status: candidate · lectures: 1

Frictionless market

A frictionless market is a simplified market model with no trading costs or other frictions.

A frictionless market is an idealized market in which assets can be traded without transaction costs, bid-ask spreads, taxes, or other impediments. Prices are assumed to adjust smoothly and trading is treated as continuous and costless.

This assumption makes pricing and hedging models mathematically tractable. It is a standard starting point for deriving results in continuous-time finance.

In this lecture, the assumption is used to simplify the Black-Scholes setting and to support replication and hedging arguments. It helps the lecture move from market intuition to a clean mathematical model.

status: candidate · lectures: 1

frictionless markets

Frictionless markets — это модель рынка без комиссий, спредов, ограничений и иных торговых издержек.

Это идеализированное предположение, в котором сделки можно совершать без затрат на транзакции и без ограничений на покупку или продажу. Такой рынок удобен для математического анализа.

Предположение о бесфрикционном рынке упрощает вывод формул хеджирования и ценообразования. Оно позволяет сосредоточиться на динамике цен, не учитывая издержки исполнения.

В лекции это одно из базовых допущений модели, рядом с идеей бесконечного пула денег для торговли. Оно делает возможным чисто математический вывод стратегии и цены.

status: candidate · lectures: 1

Fundamental asset pricing formula

The fundamental asset pricing formula prices an asset by taking the discounted expectation of its future payoff under the appropriate measure.

The fundamental asset pricing formula is the basic valuation rule in risk-neutral pricing. It states that the current price equals the discounted expected value of the future payoff under the pricing measure.

It is the central bridge between probability theory and asset pricing. Many derivative-pricing results in the course are special cases or applications of this formula.

The lecture introduces the formula as a key target and revisits it while moving between probability, measure change, and option pricing. It serves as the main pricing identity behind the Black-Scholes discussion.

status: candidate · lectures: 1

fundamental solution

source solution

Fundamental solution — это базовое решение уравнения, соответствующее точечному источнику или импульсу.

Это специальное решение линейного дифференциального уравнения, которое отвечает на точечное воздействие и затем используется для построения более общих решений. В некоторых контекстах его называют source solution.

Фундаментальное решение позволяет выражать общее решение через свёртку с источником или начальными данными. Оно является ключевым инструментом в PDE и в моделях распространения.

В лекции термин появляется при обсуждении решения уравнения через ядро или источник. Здесь он связан с обозначением W_F и с идеей восстановления решения по базовому отклику.

status: candidate · lectures: 1

Future value

Future value is the amount an investment or payoff is worth at a specified later time.

Future value is the value of a cash amount or payoff at a later date after time has passed. In finance, it often refers to the amount obtained by carrying a present value forward under a chosen growth or discounting rule.

It is a basic time-value-of-money concept used in pricing, discounting, and comparing payoffs across dates. Understanding future value helps connect present prices with terminal outcomes.

In the lecture, the term appears when moving from present quantities to payoffs at maturity. It is part of the setup for option pricing and the fundamental pricing formula.

status: candidate · lectures: 1

geometric Brownian motion

lognormal

Geometric Brownian motion — это модель случайной динамики цены, где логарифм цены следует броуновскому движению с дрейфом.

Это стохастический процесс, в котором относительные изменения величины описываются непрерывным случайным движением с дрейфом и волатильностью. Такая модель обеспечивает положительность цены при стандартных параметрах.

GBM — одна из базовых моделей для описания цен активов и вывода формул для опционов. Она удобна тем, что приводит к аналитически управляемым уравнениям.

В лекции говорится, что цена акции подчиняется geometric Brownian motion. Это исходное предположение, из которого затем выводятся уравнения для хеджирования и цены.

status: candidate · lectures: 2

Girsanov / Girsanov's theorem

Girsanov, Girsanov's theorem

Girsanov's theorem gives the rule for how stochastic dynamics change under a change of measure.

Girsanov's theorem is a result in stochastic calculus that explains how the drift term of a process changes when moving to an equivalent probability measure. It is a key tool for rewriting dynamics under a pricing measure.

It underpins risk-neutral pricing by allowing the model to be expressed under a measure where discounted asset prices have convenient martingale properties. It also appears in other change-of-measure methods.

The lecture invokes Girsanov's theorem when changing measures in the Black-Scholes setting and when discussing importance sampling. It is presented as the result that makes the measure change work mathematically.

status: candidate · lectures: 1

Greeks

Greek, the Greeks

Greeks — это показатели чувствительности цены опциона к изменениям рыночных факторов.

Greeks — это группа производных показателей, которые описывают, как цена опциона меняется при изменении цены базового актива, времени, волатильности и других параметров. К ним относят, например, delta и gamma.

Они нужны для оценки риска и построения хеджирования. Без них трудно понять, как портфель будет вести себя при движении рынка.

Greeks упоминаются как общий термин для чувствительностей опциона и служат основой для объяснения delta, gamma и связанных мер риска.

status: candidate · lectures: 2

Green's function

Green's function — это функция, позволяющая строить решение линейного уравнения по отклику на точечный источник.

Это специальная функция-ядро, которая описывает отклик системы на единичный точечный источник. С её помощью можно записывать решение линейного уравнения через интеграл по источнику.

Функция Грина упрощает решение краевых и начально-краевых задач. Она часто служит мостом между дифференциальным уравнением и его интегральным представлением.

В лекции термин появляется при обсуждении того, как называется соответствующее ядро решения. Здесь он используется как математический инструмент для представления ответа системы.

status: candidate · lectures: 1

heat equation / 1D heat equation

1D heat equation, heat equation, one-dimensional heat equation

Уравнение теплопроводности — это дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию распределения величины вдоль одной координаты во времени.

Это линейное уравнение в частных производных, которое связывает изменение функции во времени с её кривизной по пространственной переменной. В одномерном случае оно описывает перенос и сглаживание распределения вдоль одной оси.

В математике и финансах оно служит стандартной моделью для процессов диффузионного типа и часто появляется после преобразований в задачах оценки производных инструментов. Понимание его структуры помогает распознавать тип уравнения и выбирать методы решения.

В лекции этот термин используется как аналогия: уравнение Блэка—Шоулза после преобразований приводят к виду, похожему на одномерное уравнение теплопроводности. Это помогает получить решение в закрытой форме.

status: candidate · lectures: 2

heat-type equation

Heat-type equation — это уравнение диффузионного типа, похожее по структуре на уравнение теплопроводности.

Это класс линейных уравнений в частных производных, в которых величина изменяется во времени по закону диффузии или сглаживания. Такие уравнения часто имеют параболический тип.

Уравнения теплового типа лежат в основе многих моделей распространения, включая физику, вероятность и финансовую математику. Они удобны для анализа и часто допускают явные методы решения.

В лекции говорится, что получаемое уравнение имеет heat-type, или diffusion-type, характер. Это связывает задачу ценообразования с хорошо известным классом PDE.

status: candidate · lectures: 1

Hedged portfolio

hedging portfolio

A hedged portfolio is a portfolio arranged so that its value is less sensitive to market risk.

A hedged portfolio is a portfolio built to offset exposure to changes in the underlying asset or other risk factors. In continuous-time finance, it is often formed by combining positions so that small price changes cancel out.

It is the basic mechanism behind replication and risk management in derivative pricing. Hedging links the derivative payoff to a tradable portfolio.

The lecture uses the hedged portfolio as the object created to control risk and derive pricing relations. It is contrasted with the replicating portfolio in the discussion of Black-Scholes arguments.

status: candidate · lectures: 1

hedging

Hedging — это стратегия снижения риска за счет компенсирующей позиции.

Это создание встречной или частично компенсирующей позиции, чтобы уменьшить влияние неблагоприятных изменений цены, волатильности или других факторов. В финансовой модели это способ сделать результат менее зависимым от направления рынка.

Хеджирование помогает управлять риском и стабилизировать стоимость портфеля. Оно особенно важно при работе с опционами и другими производными инструментами.

status: candidate · lectures: 1

Importance sampling

Importance sampling is a Monte Carlo technique that improves estimation by drawing samples from a more convenient distribution and adjusting the weights.

Importance sampling is a computational method for estimating expectations by sampling from an alternative distribution and correcting with weights. It is widely used when direct sampling from the target distribution is inefficient.

It can make Monte Carlo estimation more accurate or efficient, especially for rare events or difficult distributions. It also illustrates the idea of changing measure in probability.

The lecture presents importance sampling as a major technique and as a clear example of a change of measure. It is used to connect computational simulation with the measure-theoretic ideas behind pricing.

status: candidate · lectures: 1

in the money

In the money — это ситуация, когда опцион имеет положительную внутреннюю стоимость при немедленном исполнении.

Это состояние опциона, при котором исполнение прямо сейчас было бы выгодным по сравнению с отказом от исполнения. Для call- и put-опционов критерий in the money различается.

Понятие помогает быстро оценивать, имеет ли опцион внутреннюю стоимость. Оно важно для понимания выплат, цены и поведения контракта к моменту expiry.

В лекции выражение используется в связи с тем, что к моменту исполнения хочется оказаться в выгодном состоянии. Это помогает интерпретировать payoff европейского опциона.

status: candidate · lectures: 1

Itô

Itô refers to the stochastic-calculus framework used to differentiate and integrate random processes.

Itô is the name attached to key tools in stochastic calculus, especially Itô's formula and Itô integrals. These tools extend calculus to processes driven by Brownian motion.

It is essential for deriving dynamics of stochastic models such as geometric Brownian motion. It also underlies many results in continuous-time finance.

The lecture uses Itô as the calculus tool applied throughout the derivations. It appears when the course moves from stochastic processes to pricing equations and hedging arguments.

status: candidate · lectures: 1

Itô diffusion

An Itô diffusion is a continuous-time stochastic process with drift and diffusion terms driven by Brownian motion.

An Itô diffusion is a stochastic process whose evolution is described by a stochastic differential equation with drift and volatility terms. It is a standard model class in continuous-time probability and finance.

It provides the mathematical setting for many asset-price models and for stochastic calculus methods. Understanding this class helps in reading and manipulating the lecture's pricing dynamics.

The lecture identifies the stock-price model as an Itô diffusion before applying stochastic calculus. This places the asset model within the framework used for Black-Scholes derivations.

status: candidate · lectures: 1

Itô expansion / Itô 4

Itô 4, Itô expansion

Разложение Ито — это формула для приближённого изменения функции стохастического процесса с учётом случайности.

Это правило дифференцирования функций от стохастических процессов, учитывающее дополнительный квадратичный член, которого нет в обычном разложении Тейлора. Оно является основным инструментом стохастического исчисления.

Разложение Ито позволяет выводить уравнения для производных инструментов и анализировать динамику случайных величин. Без него невозможно корректно работать с моделями типа Brownian motion.

В лекции оно упоминается как Taylor series, stroke Itô expansion и далее как Itô 4. Здесь термин используется как ключевой шаг в выводе уравнения для цены.

status: candidate · lectures: 1

Itô integrals

representation using an Itô integral

Itô integrals are stochastic integrals defined for processes driven by Brownian motion.

Itô integrals are integrals with respect to Brownian motion or related martingales, defined in stochastic calculus. They are the natural integration concept for random, time-evolving processes.

They are fundamental for expressing solutions of stochastic differential equations and for representing martingales. Many continuous-time finance results are written in terms of Itô integrals.

The lecture states that Itô integrals are martingales and that martingales can be represented as Itô integrals. This supports the move from abstract martingale ideas to concrete stochastic representations.

status: candidate · lectures: 1

jump conditions

Jump conditions — это условия, описывающие допустимый скачок функции или её производных в особой точке.

Это набор соотношений, которые связывают значения решения по разные стороны от точки разрыва, интерфейса или источника. Они нужны, когда решение не является гладким во всей области.

Такие условия позволяют корректно склеивать решения на разных участках и учитывать особенности источника или границы. В PDE они часто определяют поведение решения в точках с особыми свойствами.

В лекции jump conditions упоминаются как дополнительные условия, возникающие в ходе вывода. Они помогают задать поведение решения там, где обычная гладкость нарушается.

status: candidate · lectures: 1

Local hedging

Local hedging is hedging designed to offset risk over a small time step or in a local neighborhood of the model.

Local hedging is a hedging approach that focuses on matching exposures over a short interval or around a particular state. It is often used in continuous-time models where positions are adjusted to track small changes.

It captures the intuition behind dynamic hedging in derivative pricing. Local hedging is one of the ways the lecture connects stochastic calculus to portfolio construction.

The lecture mentions local hedging when explaining how Greeks and hedged portfolios help control risk. The term fits the continuous-time setting where hedges are analyzed infinitesimally.

status: candidate · lectures: 1

log transformation / log of the price

log of the price, log transformation

Логарифмическое преобразование — это замена исходной величины её логарифмом, часто используемая для удобства анализа и моделирования.

Логарифмическое преобразование переводит переменную в логарифмическую шкалу, например вместо цены рассматривают логарифм цены. Это меняет форму зависимости и часто упрощает математические выкладки.

В финансовых моделях логарифмы помогают работать с относительными изменениями и делают уравнения более удобными для анализа. В лекции это используется при выводе формул для цены опциона.

В этой лекции переход к логарифму цены помогает переписать задачу в более удобном виде и вывести уравнение для стоимости опциона. Формулировка «work in terms of the log of the price» означает именно такой переход.

status: candidate · lectures: 1

Martingale

martingales

A martingale is a stochastic process with no predictable drift under the relevant information set.

A martingale is a stochastic process whose conditional expected future value equals its current value, given the present information. Informally, it has no systematic upward or downward drift under the chosen measure.

Martingales are central in modern probability and in risk-neutral pricing. They provide the mathematical language for fair games, discounted asset prices, and representation results.

The lecture repeatedly uses martingales as the main probabilistic object behind pricing and hedging. They appear in definitions, in the discussion of nice properties, and in the representation of stochastic integrals.

status: candidate · lectures: 1

Monte Carlo

Метод Монте-Карло — это численный метод, основанный на многократном случайном моделировании для приближённой оценки результата.

Метод Монте-Карло использует случайные выборки или симуляции, чтобы приблизить величину, которую трудно вычислить точно. Обычно результат получают как статистическую оценку по множеству сценариев.

В финансах этот подход применяют для оценки сложных производных инструментов и вероятностных характеристик. Он полезен, когда аналитическое решение неудобно или недоступно.

В лекции термин появляется как ссылка на связь с численным моделированием и оценкой результатов через случайные траектории. По краткому контексту речь идёт именно о вычислительном подходе, а не о каком-то другом значении.

status: candidate · lectures: 1

Monte Carlo simulations

Monte Carlo simulation, Monte Carlo-based methods

Monte Carlo simulations — это метод случайного моделирования множества сценариев для оценки результата.

Это вычислительный подход, при котором случайные траектории генерируют многократно, а затем по ним оценивают цену, вероятность или риск. Метод особенно полезен для сложных моделей.

Он позволяет работать с задачами, где аналитическая формула неудобна или недоступна. В финансах его часто используют для оценки опционов и рисков.

status: candidate · lectures: 1

N(d2) / N of d2

N(d2), N of d2, Standard normal cumulative distribution function evaluated at d2

N(d2) is the standard normal CDF evaluated at d2.

N(d2) denotes the value of the standard normal cumulative distribution function at the argument d2. In Black-Scholes notation, it is a probability-like term built from the normal distribution.

It appears directly in the closed-form option-pricing formula. Understanding it helps interpret the probability-weighted structure of the Black-Scholes price.

The lecture points to the term in front of N(d2) while discussing the Black-Scholes formula. It is one of the key pieces in the final pricing expression.

status: candidate · lectures: 1

N(x) / функция распределения нормального закона

N(d1), N(x), normal cumulative distribution function, функция распределения нормального закона

N(x) — это функция распределения нормального закона, то есть вероятность того, что нормальная случайная величина не превышает x.

В лекции N(x) используется как обозначение функции распределения стандартного нормального закона. В зависимости от записи аргументом может быть x или d1.

Такая функция часто входит в формулы ценообразования опционов и описывает вероятностную часть модели. Она связывает нормальное распределение с расчётами стоимости.

В этом фрагменте N(d1) и N(x) появляются как часть формулы, где используется кумулятивная функция нормального распределения. По контексту это именно стандартная вероятностная функция, а не произвольная переменная.

status: candidate · lectures: 1

No free lunch with vanishing risk

No free lunch with vanishing risk is a no-arbitrage condition ruling out nearly riskless profit opportunities.

No free lunch with vanishing risk is a mathematical no-arbitrage condition used in asset pricing. It rules out sequences of trading strategies that produce profit with arbitrarily small risk.

It is one of the foundational assumptions behind modern pricing theory. Under such conditions, pricing measures and fair valuation results can be established.

The lecture mentions this condition as part of the theoretical framework for pricing and measure change. It signals the no-arbitrage structure underlying the Black-Scholes discussion.

status: candidate · lectures: 1

No-arbitrage condition

A market pricing condition that prevents riskless profit opportunities from inconsistent prices.

The no-arbitrage condition says that prices must be set so that no trading strategy can produce a guaranteed profit with no net cost and no risk. In pricing theory, it is a basic consistency requirement.

It is one of the main principles used to derive fair prices for derivatives and other financial claims. If it fails, prices can be internally inconsistent.

In this lecture, it is used as the key principle for valuing derivatives. The pricing argument relies on matching the derivative payoff without creating arbitrage.

status: candidate · lectures: 1

no-arbitrage principle / no arbitrage

no arbitrage, no-arbitrage principle

Принцип отсутствия арбитража утверждает, что в согласованной модели не должно существовать безрисковой прибыли без начальных затрат.

Это базовое финансовое предположение: если два способа дают одинаковый риск и одинаковый результат, их цены должны быть согласованы. Иначе возникает арбитражная возможность.

Принцип отсутствия арбитража лежит в основе вывода формул для цен производных инструментов. Он позволяет связать динамику цены актива с безрисковой ставкой.

В лекции этот принцип используется как ключевой шаг при выводе уравнения для цены опциона. Из него следует, что стоимость портфеля должна расти по безрисковой ставке.

status: candidate · lectures: 1

normal distribution

Нормальное распределение — это симметричное вероятностное распределение, задаваемое средним и дисперсией.

Нормальное распределение — одно из основных распределений теории вероятностей, имеющее колоколообразную форму. Оно полностью задаётся параметрами среднего и разброса.

В финансовой математике оно часто появляется в формулах для вероятностей и цен опционов. Через него удобно описывать случайные изменения и кумулятивные вероятности.

В лекции нормальное распределение упоминается через его функцию распределения, которая входит в итоговые формулы. Это часть вероятностного описания цены опциона.

status: candidate · lectures: 1

Novikov / Novikov condition

Novikov, Novikov condition

A condition used in stochastic calculus to justify certain measure changes and exponential martingales.

The Novikov condition is a sufficient integrability condition that helps ensure an exponential stochastic process is a true martingale. It is commonly used when changing probability measures in stochastic calculus.

It provides a technical check that makes measure-change formulas valid. This is important when moving from one probability distribution to another in pricing models.

Here it appears in the discussion of changing measure for option pricing. The lecture treats it as the main condition to verify before using the measure-change result.

status: candidate · lectures: 1

ODE / ordinary differential equation

ODE, ordinary differential equation

ODE stands for ordinary differential equation.

An ordinary differential equation is an equation that relates an unknown function to one or more of its derivatives with respect to a single independent variable. It describes how the function changes over that variable.

ODEs are a standard tool for modeling dynamic systems and for solving pricing problems after simplification. They often appear when a stochastic problem is reduced to a deterministic equation.

In this lecture, ODE is used as a contrast to the stochastic and PDE-based formulations. The speaker emphasizes that part of the derivation is “just an ODE.”

status: candidate · lectures: 1

Option

A financial contract whose value depends on an underlying asset and may give the holder the right to exercise it.

An option is a derivative contract whose payoff depends on the price of an underlying asset at a future time. Depending on the contract type, it may give the holder the right, but not the obligation, to buy or sell.

Options are central examples in derivative pricing and risk management. Their payoffs are used to illustrate how pricing formulas are built.

In this lecture, the term appears in the discussion of pricing and exercise probability. The option is the main object whose payoff is being replicated and valued.

status: candidate · lectures: 1

Option payoff

payoff of the option

The cash flow or value an option produces at maturity, determined by the underlying asset price.

The option payoff is the amount the option is worth at expiration, expressed as a function of the underlying asset price. It is the terminal cash flow defined by the contract.

Pricing methods aim to match or replicate this payoff under the chosen model. Understanding the payoff is the starting point for valuation.

The lecture uses the payoff as the target to be recreated by a trading strategy. It is also used when comparing the option’s value with the payoff at maturity.

status: candidate · lectures: 1

option price

Цена опциона — это стоимость опциона как финансового контракта в заданный момент времени.

Цена опциона — это денежная стоимость права, которое даёт опцион его держателю. Она зависит от параметров контракта и рыночных условий.

Именно цену опциона стремятся вычислить в моделях ценообразования. От неё зависят оценка сделки и сравнение разных контрактов.

В лекции обсуждается, что для вывода формулы нужно сначала согласовать, что именно понимается под ценой опциона. Это отправная точка для дальнейших вычислений.

status: candidate · lectures: 1

Option price problem

The task of determining a fair price for an option from its payoff and the market model.

The option price problem is the mathematical task of finding the value of an option before expiration. It asks how to compute a price consistent with the model and market assumptions.

It is the central problem of derivative pricing. Solving it connects the payoff, the probability model, and the pricing rule.

The lecture refers to this as the pricing task that may look complicated at first. It is the problem the course is trying to simplify using measure changes and related tools.

status: candidate · lectures: 1

option pricing

option pricing approaches, pricing of options

Ценообразование опционов — это расчёт стоимости опциона по модели с учётом цены актива, волатильности, срока и других факторов.

Option pricing — это область финансовой математики, которая изучает, как оценивать стоимость опционов. В расчёт обычно входят цена базового актива, волатильность, время до истечения, процентные ставки и параметры исполнения.

От правильной оценки зависит сравнение контрактов, анализ рисков и построение торговых и хеджирующих стратегий. Это центральная задача для моделей, обсуждаемых в курсе.

Термин обозначает основную прикладную цель обсуждаемых моделей и методов.

status: candidate · lectures: 2

out of the money

Out of the money — это состояние опциона, при котором его исполнение сейчас не приносит внутренней стоимости.

Так называют опцион, для которого текущая цена базового актива делает немедленное исполнение невыгодным. Внутренняя стоимость такого опциона равна нулю.

Это одно из базовых состояний опциона, влияющее на его стоимость и интерпретацию результата. Оно помогает различать, есть ли у контракта внутренняя ценность.

В лекции этот термин перечисляется вместе с состояниями in the money и at the money как часть базовой терминологии по опционам. Он нужен для понимания того, как соотносится цена актива и страйк.

status: candidate · lectures: 1

parabolic

Параболический — это тип дифференциального уравнения, обычно первого порядка по времени и второго порядка по пространству.

Параболическим называют уравнение, в котором сочетаются производные первого порядка по времени и второго порядка по пространственной переменной. Такой тип характерен для уравнений диффузии и теплопроводности.

Классификация уравнения помогает понимать его свойства и выбирать методы решения. В финансовой математике это важно для уравнения цены опциона.

В лекции термин используется для описания типа PDE, возникающего в выводе формулы цены опциона. Указание на параболичность объясняет структуру уравнения и подход к его решению.

status: candidate · lectures: 1

partial differential equation

partial differential equations, PDE, PDEs, частное дифференциальное уравнение

Частное дифференциальное уравнение — это уравнение для функции нескольких переменных, содержащее её частные производные.

Partial differential equation — это математическое уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные. Такие уравнения описывают процессы, зависящие одновременно от времени, цены, пространства или других параметров.

В финансовой математике PDE часто возникает при выводе формул оценки деривативов и описании динамики цены. Оно позволяет формализовать связь между риском, временем и изменением рыночных параметров.

PDE появляется как итог преобразований в модели опционов, когда из стохастического описания переходят к детерминированному уравнению для цены.

status: candidate · lectures: 2

path independent

Path independent — это свойство, при котором результат не зависит от пути интегрирования или изменения переменных.

Путь-независимым называют выражение, значение которого определяется только начальной и конечной точками, а не способом перехода между ними. Обычно это связано с существованием потенциальной функции.

Такое свойство упрощает вычисления и позволяет переписывать выражения в более удобной форме. В математических выводах оно часто помогает распознать точную дифференциальную структуру.

В лекции это свойство упоминается при обсуждении формы выражения, которое можно интегрировать без зависимости от траектории. Оно помогает перейти к более простой записи результата.

status: candidate · lectures: 1

payoff

payoff at maturity, payoff function

Payoff — это выплата, которую даёт финансовый контракт при наступлении заданного события или в момент исполнения.

В опционах payoff — это функция, которая показывает, сколько получает держатель контракта при заданной цене базового актива. Обычно она зависит от цены исполнения и текущей цены актива.

Payoff задаёт конечный результат контракта и служит основой для его оценки. Без понимания payoff невозможно корректно интерпретировать цену опциона.

В лекции payoff упоминается как объект, для которого затем находят текущую стоимость. Это часть перехода от конечной выплаты к формуле цены.

status: candidate · lectures: 2

PDE approach

A pricing method that formulates the problem as a partial differential equation and solves for the option value.

The PDE approach is a method of pricing that turns the valuation problem into a partial differential equation for the option value. The solution of that equation gives the price as a function of time and state variables.

It is one of the standard frameworks for derivative pricing. It provides a deterministic alternative to expectation-based methods.

The lecture mentions the PDE approach as a familiar reference point. It uses that comparison to motivate the measure-change method being introduced.

status: candidate · lectures: 1

PDF / функция плотности вероятности

PDF, probability density function, функция плотности вероятности

PDF — это функция плотности вероятности непрерывной случайной величины.

PDF означает функцию плотности вероятности, которая задаёт распределение непрерывной случайной величины. Вероятность на интервале получают как площадь под графиком плотности.

Плотность вероятности нужна для вычисления ожиданий, интегралов и вероятностей в непрерывных моделях. В финансовой математике она часто входит в формулы оценки.

В лекции PDF появляется в выражении, где результат умножают на плотность, чтобы получить вклад разных значений случайной величины. Это стандартное использование плотности в интегральной записи.

status: candidate · lectures: 1

phi / phi_t^B

phi, phi_t^B, phi_u

A notation for a trading strategy or integrand in a stochastic integral, depending on the context.

Phi is a symbol used for a process or strategy, often appearing as the integrand in a stochastic integral. In this lecture it represents the quantity being multiplied by the asset increment.

Such notation is central in self-financing portfolio arguments and replication formulas. It connects the trading strategy to the resulting payoff.

The lecture uses phi when writing the integral form of the strategy and when comparing it with delta notation. It is treated as the quantity chosen to match the option payoff.

status: candidate · lectures: 1

Physical measure P / measure P

Physical measure P, measure P, probability measure P, probability distribution P, physical, real-world measure

Physical measure P is the real-world probability measure used to model observed asset behavior.

The physical measure P is the probability measure that describes outcomes in the real world or under observed dynamics. It is the measure under which the asset process is modeled before any pricing transformation.

It provides the baseline probability model from which pricing measures are derived. Distinguishing it from the pricing measure is essential in modern asset pricing.

The lecture contrasts the physical, real-world measure with the measure used for pricing expectations. It appears when the course explains how probabilities and expectations change under measure transformation.

status: candidate · lectures: 1

plain vanilla options / plain vanillas

plain vanilla options, plain vanillas

Plain vanilla options — это стандартные опционы с простой структурой выплат и без дополнительных сложных условий.

Так называют базовые, наиболее простые по конструкции опционы, обычно колл и пут. Их выплата определяется стандартной формулой без экзотических особенностей.

Именно на таких контрактах чаще всего объясняют основные идеи ценообразования и хеджирования. Они служат отправной точкой для более сложных производных инструментов.

В лекции этот термин используется как обозначение стандартных опционов, на которых удобно иллюстрировать вывод формул. Он помогает отделить базовый случай от более сложных контрактов.

status: candidate · lectures: 1

portfolio of options

Портфель опционов — это совокупность нескольких опционных контрактов, рассматриваемых как единый набор.

Портфель опционов — это комбинация нескольких опционных позиций, которые анализируют совместно. Стоимость такого портфеля равна сумме стоимостей входящих в него контрактов.

Портфельный подход позволяет строить хеджирующие конструкции и выводить цены через комбинации инструментов. Он важен для понимания арбитражных аргументов.

В лекции портфель опционов используется как простой пример сложения стоимостей отдельных контрактов. Это помогает перейти от отдельных опционов к более общей конструкции.

status: candidate · lectures: 1

portfolio optimisation

Портфельная оптимизация — это подбор структуры портфеля по заданному критерию доходности, риска или их баланса.

Это задача выбора долей активов или инструментов в портфеле так, чтобы оптимизировать заданный показатель. Обычно рассматривают компромисс между доходностью и риском.

Портфельная оптимизация — базовая тема финансовой математики и управления активами. Она помогает формализовать выбор между разными инвестиционными стратегиями.

В лекции термин упоминается как знакомый фон из предыдущих тем, чтобы связать текущий материал с более общей финансовой математикой. Он не является центральным объектом вывода, но помогает ориентироваться в контексте.

status: candidate · lectures: 1

Portfolio selection

The process of choosing a portfolio composition to meet a financial objective under given constraints.

Portfolio selection is the process of choosing how to allocate wealth across assets to achieve a desired objective. The objective may involve return, risk, hedging, or replication.

It is a basic problem in finance and connects optimization with market modeling. The same mathematical tools can be used for hedging and investment choice.

The lecture mentions it as another setting where the same measure-change idea is useful. It is not the main focus, but it shows the method has broader applications.

status: candidate · lectures: 1

present value

Present value — это текущая стоимость будущего платежа, пересчитанная с учётом времени и ставки дисконтирования.

Приведённая стоимость показывает, сколько сегодня стоит будущая сумма денег. Для этого будущий платеж дисконтируют по заданной ставке.

Этот принцип лежит в основе оценки финансовых потоков и производных инструментов. Он позволяет сравнивать выплаты, происходящие в разные моменты времени.

В лекции present value используется при переходе от будущего payoff к текущей цене опциона. Это ключевой элемент дисконтирования в формуле оценки.

status: candidate · lectures: 2

present value of the expected payoff

Приведённая стоимость ожидаемой выплаты — это текущая стоимость среднего ожидаемого payoff после дисконтирования.

Это выражение означает, что сначала находят ожидаемую будущую выплату, а затем пересчитывают её в текущую стоимость. В финансовых моделях это часто записывают через ожидание и дисконтирующий множитель.

Такой подход связывает вероятностную оценку результата с его текущей ценой. Он лежит в основе многих формул ценообразования производных инструментов.

В лекции эта фраза описывает итоговую идею: цена опциона выражается как приведённая стоимость ожидаемого payoff. Это центральная интерпретация получаемой формулы.

status: candidate · lectures: 1

present value term

Present value term — это множитель или часть формулы, отвечающая за дисконтирование будущей величины к текущему моменту.

Так называют часть выражения, которая реализует приведение будущего значения к настоящему моменту. Обычно это экспоненциальный или иной дисконтирующий множитель.

Без такого члена нельзя корректно сравнивать будущие и текущие денежные потоки. Он делает формулу экономически осмысленной.

В лекции экспонента прямо названа present value term, потому что она отвечает за дисконтирование в формуле цены. Это помогает увидеть экономический смысл математического множителя.

status: candidate · lectures: 1

Probability distribution

probability distributions, probability distribution Q

A probability distribution describes how probability is assigned across possible outcomes of a random variable.

A probability distribution specifies the probabilities associated with the possible values of a random variable or random outcome. It can be discrete or continuous.

Distributions are the basis for expectation, risk, and pricing calculations. Changing the distribution changes the probabilities used in valuation.

The lecture uses probability distributions when discussing measure changes and the pricing measure Q. It emphasizes manipulating the whole distribution rather than only individual outcomes.

status: candidate · lectures: 1

Probability mass at zero / probability mass at a payoff of zero

Probability mass at zero, probability mass at a payoff of zero

A point mass of probability concentrated exactly at zero, meaning zero occurs with positive probability.

Probability mass at zero means that the random variable has a positive probability of taking the value zero exactly. In a payoff setting, it means the payoff can be exactly zero with nonzero probability.

This feature affects the shape of the payoff distribution and the resulting pricing intuition. It can create a visible spike at zero in the distribution.

The lecture uses this phrase when describing the payoff distribution of the put example. The point is that a large part of the distribution may sit exactly at zero.

status: candidate · lectures: 1

Probability space

probability system

The mathematical setting that contains outcomes, events, and probabilities for a random experiment.

A probability space is the mathematical structure that specifies the sample space, the collection of events, and the probability measure. It is the formal setting for random variables and stochastic processes.

It provides the foundation for probability theory and stochastic modeling. Without it, the objects used in pricing models are not formally defined.

The lecture introduces a probability space early as part of the mathematical setup. It is the environment in which the pricing and measure-change arguments are carried out.

status: candidate · lectures: 1

Probability theory

The branch of mathematics that studies random events, probabilities, and random variables.

Probability theory is the mathematical study of randomness, events, random variables, and stochastic processes. It provides the language and tools for modeling uncertainty.

It underpins modern financial mathematics and derivative pricing. Concepts such as expectation, distribution, and measure change come from probability theory.

The lecture frames the pricing discussion as an application of probability theory. It uses that foundation to move from random payoffs to valuation formulas.

status: candidate · lectures: 1

psi / psi_u

psi, psi_u

A notation for an integrand or strategy process in a stochastic integral, depending on the formula.

Psi is a symbol used for a process or integrand in a stochastic integral. Its exact meaning depends on the surrounding model and notation.

It is part of the formal description of trading strategies and stochastic representations. Understanding the symbol helps read the integral equations correctly.

The lecture uses psi in the integral with respect to Brownian motion. It serves as the coefficient process inside the stochastic integral.

status: candidate · lectures: 1

put option

put

Put option — это опцион, который даёт право продать базовый актив по фиксированной цене в установленный срок или до него.

Пут-опцион даёт его держателю право, но не обязанность, продать базовый актив по цене исполнения. Его стоимость зависит от цены актива, срока и других параметров.

Пут-опционы — один из базовых инструментов рынка производных и важный объект для ценообразования и хеджирования. Они помогают управлять риском снижения цены актива.

В лекции put option вводится как один из основных типов опционов, на примере которого обсуждаются формулы и выплаты. Это часть базовой терминологии перед выводом цены.

status: candidate · lectures: 2

Put payoff / maximum of E minus ST or zero

Put payoff, maximum of E minus ST or zero

A put payoff is max(E − ST, 0), the amount paid by a put option at maturity.

The put payoff is the terminal value of a put option. It equals the positive part of the strike price minus the stock price at maturity, written as max(E − ST, 0).

It is the basic payoff used to price and hedge put options. It also complements the call payoff in standard option-pricing examples.

The lecture states the put payoff explicitly alongside the call payoff. It is used as part of the core option-pricing setup.

status: candidate · lectures: 1

put-call parity

Put-call parity — это соотношение между ценами call- и put-опциона с одинаковыми страйком и сроком.

Это равенство, которое связывает цены европейского опциона call и put на один и тот же базовый актив при одинаковых страйке, сроке и без дивидендных поправок в базовой форме. Оно отражает возможность собрать эквивалентные по выплате позиции разными способами.

Паритет помогает проверять согласованность цен и находить арбитражные несоответствия. В курсе он нужен как опорное соотношение при выводе формул и сравнении стратегий.

В лекции его используют как ключевой принцип при обсуждении ценообразования деривативов и связи между позициями в call и put. Он служит мостом между интуитивной репликацией выплат и формальным выводом.

status: candidate · lectures: 1

quant finance / количественные финансы

quant finance, quantitative finance, количественные финансы

Quant finance — это количественные финансы, область, где для анализа рынков, рисков и цен используют математические и статистические модели.

Это направление финансов, в котором поведение активов, производных инструментов и рисков описывают с помощью вероятностных моделей, статистики и вычислений. Термин часто используют как краткое название quantitative finance.

Именно этот подход лежит в основе моделей ценообразования деривативов и оценки риска. Он позволяет формализовать интуитивные финансовые идеи и получать проверяемые расчёты.

В лекции термин появляется как обозначение области применения обсуждаемых методов и формул. Он помогает связать теорию стохастических процессов с практикой оценки производных инструментов.

status: candidate · lectures: 1

Radon-Nikodym derivative

\(dP/dQ\), dQ/dP, process density, ratio of likelihoods

The Radon-Nikodym derivative is the density that converts one probability measure into another by reweighting probabilities.

The Radon-Nikodym derivative is a density function that expresses one measure in terms of another when the second is absolutely continuous with respect to the first. In this lecture, it appears as the factor used to move between probability measures.

It is the mathematical tool that makes measure change precise in pricing and stochastic calculus. It lets the lecture rewrite expectations under a new measure in a controlled way.

Here it is used as the key reweighting factor in the change-of-measure argument, often written in notation such as \(dQ/dP\) or \(dP/dQ\). The lecture also links it to the process density used in the derivation.

status: candidate · lectures: 1

Radon-Nikodym theorem

The Radon-Nikodym theorem gives conditions under which one measure has a derivative, or density, relative to another.

The Radon-Nikodym theorem is a result in measure theory and probability that characterizes when one measure is absolutely continuous with respect to another. In that case, it guarantees the existence of a Radon-Nikodym derivative.

It is a key tool for changing probability measures and expressing one distribution in terms of another. This makes it important in advanced probability and financial mathematics.

The lecture refers to the theorem when explaining a step that relies on converting one probabilistic description into another.

status: candidate · lectures: 1

real-world drift

Real-world drift — это параметр μ, описывающий средний темп изменения цены актива в реальной вероятностной мере.

Это ожидаемый средний темп роста или снижения цены актива в исходной, «реальной» вероятностной модели. В формулах он часто обозначается μ.

Дрейф важен для описания динамики актива в реальном мире и для сравнения с безрисковой мерой. В задачах ценообразования он помогает отделить реальное ожидание от риск-нейтрального представления.

В лекции термин используется при сопоставлении реальной динамики цены и модели, в которой для оценки деривативов применяют безрисковую ставку. Это помогает показать, почему в формулах меняется мера вероятности.

status: candidate · lectures: 1

Replicating portfolio

replicating strategy

A replicating portfolio is a portfolio constructed to match the payoff of another asset or derivative.

A replicating portfolio is a combination of assets whose value or payoff matches the value or payoff of a target claim. In this lecture, it is the portfolio created to reproduce the derivative payoff.

Replication is a central idea in no-arbitrage pricing because it links the price of a claim to the cost of the portfolio that matches it. It also underlies hedging constructions.

The lecture uses the term when discussing the value of the portfolio and the change in its value over time. It is part of the construction that leads to the snapshot equation.

status: candidate · lectures: 1

Risk premium

A risk premium is the excess return required for taking on risk.

A risk premium is the additional return above the risk-free rate that compensates for bearing risk. It is often described as an excess return.

It helps explain why risky assets are expected to earn more than risk-free assets in ordinary market settings. In pricing discussions, it contrasts with the risk-neutral setup.

The lecture uses the term when interpreting payoff and return expressions, especially where the result looks like an excess return. It helps connect the model to familiar finance language.

status: candidate · lectures: 1

Risk-free asset

A risk-free asset is an asset whose return is treated as certain in the model.

A risk-free asset is an asset that earns the risk-free rate with no modeled uncertainty. It serves as the baseline asset in pricing and hedging arguments.

It provides the reference point for discounting and for comparing risky positions. The lecture uses it to build portfolios and express self-financing conditions.

The lecture refers to the risk-free asset when describing the portfolio holdings and the amount held at time t. It is the asset paired with the stock in the trading strategy setup.

status: candidate · lectures: 1

risk-free portfolio

Risk-free portfolio — это портфель, который в идеализированной модели не несёт ценового риска.

Это набор позиций, сконструированный так, чтобы его будущая стоимость была определённой или не зависела от случайных колебаний базового актива. В учебных моделях такой портфель часто строят через хеджирование.

Понятие безрискового портфеля лежит в основе арбитражных аргументов и вывода формул ценообразования. Оно показывает, как из рискованных компонентов можно собрать позицию с предсказуемым результатом.

В лекции термин возникает в вопросе о том, существует ли ещё один безрисковый портфель, и связан с идеей репликации выплат. Он помогает перейти от интуиции к строгому выводу цены.

status: candidate · lectures: 1

risk-free rate / risk-free interest rate

r, risk-free interest rate, risk-free rate, Risk-free rate r, short-term rate

Risk-free rate — это ставка доходности безрискового актива или эталонная процентная ставка в модели.

Это процентная ставка, используемая как базовая доходность в финансовых моделях. В теории её связывают с активом, который считается свободным от кредитного риска.

Безрисковая ставка входит в дисконтирование, оценку форвардов и ценообразование опционов. Она задаёт опорный уровень, относительно которого сравнивают доходность и стоимость денег во времени.

В лекции ставка r появляется как один из ключевых параметров вместе с волатильностью и дрейфом. Она используется при переходе к риск-нейтральному описанию и в формулах для производных инструментов.

status: candidate · lectures: 2

risk-neutral

Q, Q measure, risk-neutral measure, risk-neutral probabilities

Risk-neutral — это модельное допущение, при котором инвесторы безразличны к риску, а ожидаемые доходности приводят к удобной оценке цен.

Risk-neutral означает не реальное поведение всех участников рынка, а специальное вероятностное представление для расчётов. В таком представлении ожидаемая доходность активов задаётся так, чтобы упростить оценку производных инструментов.

Это допущение лежит в основе многих формул ценообразования опционов и позволяет перейти от неопределённости рынка к вычислимой модели. Оно делает возможным вывод цены через дисконтированное ожидание.

Risk-neutral упоминается в связи с Black-Scholes и рассуждением, которое позволяет оценивать опционы.

status: candidate · lectures: 1

Risk-neutral dynamics

Risk-neutral dynamics are the model equations for asset evolution under the risk-neutral measure.

Risk-neutral dynamics are the stochastic dynamics of an asset when written under the risk-neutral measure. They are the equations used to describe price evolution in the pricing world.

They are the basis for risk-neutral valuation and for translating a model into pricing formulas. They make the drift structure consistent with discounting at the risk-free rate.

In this lecture, the term appears when the course moves to the Q-world formulation. It is used to describe the dynamics that support the risk-neutral probability calculations.

status: candidate · lectures: 1

S0 / S*sub*0*

S0, S*sub*0*

S0 is the initial asset price at time 0.

S0 is the value of the asset price at the initial time. It is the starting point for the price process S.

Initial values are needed to define the evolution of the model and to compute later prices or payoffs. They also appear in the lecture’s notation for the stock price process.

The lecture uses S0 when discussing the starting value of S and when noting the starred notation used for consistency. It is the initial condition for the price process.

status: candidate · lectures: 1

Sample space omega

The sample space Ω is the set of all possible outcomes of the experiment or model.

The sample space Ω is the collection of all possible outcomes in a probability model. Each outcome represents one possible realization of the underlying randomness.

It is the starting point for defining events, random variables, and stochastic processes. The lecture uses it as part of the probability-space setup.

The lecture mentions the sample space omega when introducing the probability framework for the model. It is part of the basic notation used before moving to stochastic processes.

status: candidate · lectures: 1

scalar multiplication

Scalar multiplication means multiplying an object by a scalar, or ordinary number.

Scalar multiplication is the operation of multiplying a quantity by a single number rather than by another vector or matrix. It scales the size of the quantity without changing its basic form.

It appears throughout algebra, calculus, and finance when positions or terms are scaled by coefficients. In derivations, it helps combine and compare quantities with different weights.

The lecture uses the phrase when manipulating terms in the pricing derivation. It refers to scaling one quantity by a numerical factor.

status: candidate · lectures: 1

SDE / стохастическое дифференциальное уравнение

SDE, stochastic differential equation, стохастическое дифференциальное уравнение

SDE — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины под действием случайности.

SDE (stochastic differential equation, стохастическое дифференциальное уравнение) описывает процесс, в котором изменение величины включает случайный компонент. Такие уравнения используют для моделирования цен, ставок и других случайных процессов.

В финансовой математике SDE позволяет формально описывать динамику цены актива и волатильности. Это основа для вывода и анализа моделей, связанных с опционами.

SDE упоминается как исходная форма модели, из которой затем получают уравнения для оценки опционов.

status: candidate · lectures: 1

Self-financing

self-financing condition, self-financing portfolio, self-financing trading strategies

Self-financing means a portfolio is rebalanced without adding or withdrawing external cash.

A self-financing portfolio is one whose changes in value come only from gains and losses on the assets already held. No external cash is injected or removed.

This condition is essential in hedging and replication because it isolates the effect of trading from outside funding. It is a standard constraint in no-arbitrage pricing.

The lecture introduces self-financing as the key restriction on trading strategies and uses it to derive the snapshot equation. It is described as the condition satisfied once the portfolio is formed and then rebalanced internally.

status: candidate · lectures: 1

Self-financing equation / dVt = phi_t dS_t + psi_t dB_t

Self-financing equation, dVt = phi_t dS_t + psi_t dB_t

A portfolio condition saying its value changes only through the assets it already holds.

The self-financing equation describes a trading portfolio whose change in value comes entirely from the returns on the assets in the portfolio. No external cash is added or removed.

It is a core condition in derivative pricing because it formalizes how a replicating portfolio evolves. The equation links the holdings in the risky asset and the bank account to the portfolio value.

The lecture writes the self-financing condition as dVt = phi_t dS_t + psi_t dB_t. This notation is used to express the dynamics of a trading strategy in the pricing argument.

status: candidate · lectures: 1

short selling

short the share

Short selling — это открытие короткой позиции, при которой прибыль или убыток зависят от последующего изменения цены актива.

Это стратегия, при которой инвестор продаёт заимствованный актив или открывает короткую позицию, рассчитывая затем выкупить его дешевле. В учебных примерах это способ получить выплату, противоположную длинной позиции.

Short selling часто используется в репликации опционных выплат и в арбитражных рассуждениях. Без понимания короткой позиции трудно читать формулы хеджирования и построения портфелей.

В лекции short selling упоминается как уже знакомая идея и как допустимый элемент конструкции на базовом активе. На ней строится объяснение того, как собрать нужную выплату из простых позиций.

status: candidate · lectures: 1

sigma

sigma squared

Sigma (σ) — это параметр волатильности, а σ² обычно обозначает квадрат волатильности или дисперсию в модели.

Это обозначение параметра, который описывает масштаб случайных колебаний цены в стохастической модели. В зависимости от записи σ может означать волатильность, а σ² — её квадрат.

Этот параметр определяет степень неопределённости и сильно влияет на цену опционов и другие производные величины. Чем выше σ, тем шире распределение возможных исходов.

В лекции σ появляется рядом с μ и r как один из основных параметров модели цены актива. Также обсуждается запись с σ² в формулах, где важно не перепутать волатильность и её квадрат.

status: candidate · lectures: 1

similarity reduction

Similarity reduction is a method for simplifying a problem by using a change of variables that exploits its scaling structure.

Similarity reduction is a mathematical technique that transforms a problem into a simpler form by combining variables into a reduced set. It is often used when the equations have a scaling pattern or repeated structure.

It can turn a difficult partial differential equation or differential equation into one that is easier to solve. In quantitative finance, it helps derive closed-form expressions from model equations.

The lecture mentions similarity reduction as part of the method used to solve the pricing problem. It is presented together with substitutions and transformations as a way to simplify the equation.

status: candidate · lectures: 1

Simulate path for S / simulate a path for S

Simulate path for S, simulate a path for S

To simulate a path for S means to generate one possible trajectory of the asset price process.

To simulate a path for S means to produce one sample realization of the asset price process over time. It is a numerical way to represent one possible evolution of S.

Path simulation is a common way to study stochastic models and visualize how prices may evolve. It supports intuition for the dynamics discussed in the lecture.

The lecture uses the phrase when describing how one would generate a sample path for the asset price process. It appears as part of the discussion of stochastic dynamics.

status: candidate · lectures: 1

Snapshot equation

The snapshot equation is the equation describing the portfolio value at a given time.

The snapshot equation is the relation that gives the value of a trading strategy or portfolio at a specific time. It summarizes the current holdings and their combined value.

It is useful for expressing self-financing portfolios and for comparing portfolio value with the target payoff. In the lecture, it organizes the hedging argument.

The lecture explicitly names this relation the snapshot equation and states that all trading strategies satisfy it. It is used when discussing the value of the replicating portfolio.

status: candidate · lectures: 1

stochastic calculus

Stochastic calculus — это математический аппарат для анализа случайных процессов, включая дифференциалы и интегралы в моделях с шумом.

Это раздел математики, который расширяет обычное исчисление на случайные процессы, например броуновское движение. Он позволяет корректно работать с уравнениями, где присутствует случайность.

В финансовой математике стохастическое исчисление нужно для вывода динамики цен, хеджирования и формул ценообразования. Без него невозможно строго описывать модели с непрерывным случайным движением.

В лекции этот аппарат вводится как основа для дальнейшего вывода формул для производных инструментов. Он используется при записи уравнений для стоимости портфеля и цены актива.

status: candidate · lectures: 1

Stochastic integral

A stochastic integral is an integral taken with respect to a stochastic process.

A stochastic integral is an integral whose integrator is a random process rather than an ordinary deterministic variable. It is used to represent accumulated random effects over time.

It is a core tool in stochastic calculus and in continuous-time finance. The lecture uses it when writing the dynamics of the model in integral form.

The term appears when the lecture discusses the stochastic integral associated with the dynamics. It is part of the mathematical form used to express the model.

status: candidate · lectures: 1

Stochastic interest rates / stochastic interest rate

Stochastic interest rates, stochastic interest rate

Stochastic interest rates are interest rates that vary randomly over time.

Stochastic interest rates are interest rates modeled as random processes rather than fixed constants. Their future values are uncertain and evolve over time.

They make pricing and hedging more complex because discounting itself becomes random. They are an important extension of the basic constant-rate model.

The lecture introduces stochastic interest rates when discussing how the model changes once the interest rate is allowed to be random. They are mentioned alongside stochastic volatility as part of the extended setting.

status: candidate · lectures: 1

Stochastic process

stochastic processes

A stochastic process is a family of random variables indexed by time.

A stochastic process is a collection of random variables, usually indexed by time, that describes how a random quantity evolves. Each time point gives one random variable in the family.

Stochastic processes are the basic objects studied in probability and stochastic calculus. They are the language used throughout the lecture to describe asset prices and rates.

The lecture introduces stochastic processes early and uses the term repeatedly when discussing asset price dynamics and pairs of processes. It is the broader framework for the model.

status: candidate · lectures: 1

stochastic volatility

Stochastic volatility — это модель, в которой волатильность не постоянна, а сама является случайным процессом.

Stochastic volatility означает, что уровень волатильности описывается отдельным случайным процессом и может меняться во времени. Это более гибкое описание рынка, чем предположение о постоянной волатильности.

Такие модели лучше отражают реальные колебания рынка и помогают объяснять особенности цен опционов. Они важны для калибровки и анализа риска.

status: candidate · lectures: 1

stock price

Stock price — это рыночная цена одной акции в данный момент времени.

Stock price — это цена, по которой акция торгуется на рынке. Она меняется под влиянием спроса и предложения, ожиданий участников и новостей.

Цена акции является базовым параметром для оценки опционов и других производных инструментов. От неё зависят выплаты, риск и чувствительность модели.

status: candidate · lectures: 1

strike

strike price

Strike — это цена исполнения опциона, зафиксированная в контракте.

Strike — это цена, по которой держатель опциона может купить или продать базовый актив при исполнении контракта. Она задаётся заранее и является одной из ключевых характеристик опциона.

Страйк напрямую влияет на выплату и стоимость опциона. Сравнение страйка с текущей ценой актива помогает понять, насколько опцион находится «в деньгах» или «вне денег».

status: candidate · lectures: 2

Submartingales

Submartingales are processes whose conditional expected future value is at least their current value.

A submartingale is a stochastic process whose conditional expectation at a future time is at least its current value. It generalizes the idea of a process with upward drift in expectation.

Submartingales are important in probability theory and in the analysis of pricing processes. They help characterize how values evolve under a given measure.

The lecture uses the term when concluding that certain processes are submartingales. It appears as a property of the processes being studied in the model.

status: candidate · lectures: 1

substitutions and transformations

Substitutions and transformations are algebraic or variable changes used to simplify a problem before solving it.

These are methods that replace variables or rewrite expressions so a difficult equation becomes easier to handle. They often work by converting the original problem into a standard form.

They are common tools for solving differential equations and pricing equations in quantitative finance. They help reveal structure that is not obvious in the original variables.

The lecture mentions using substitutions and transformations as part of the solution method. They appear alongside similarity reduction in the derivation.

status: candidate · lectures: 1

terminal condition / final condition

final condition, terminal condition

Terminal condition — это условие на решение в конечный момент времени, от которого затем находят значения раньше по времени.

Это условие, заданное не в начальный, а в конечный момент времени. В задачах с опционами terminal condition обычно совпадает с payoff в момент expiry.

Конечное условие необходимо для корректной постановки обратной задачи и для восстановления цены в более ранние моменты. Без него решение уравнения не определено однозначно.

В лекции terminal condition прямо связывается с payoff и используется как отправная точка для вычисления решения назад во времени. Термин final condition употребляется в том же смысле, но как близкое, а не строго тождественное обозначение.

status: candidate · lectures: 1

terminal value

Terminal value is the value of an asset, portfolio, or payoff at the final time in a model or calculation.

Terminal value is the amount reached at the end of a specified time horizon. In finance, it often refers to the final payoff or ending value of an investment or strategy.

It is the endpoint used when evaluating gains, losses, and payoffs over time. Many pricing and hedging arguments are built around matching terminal values.

In this lecture, terminal value is used when discussing the final outcome of a strategy and comparing it with the value of a derivative or portfolio.

status: candidate · lectures: 1

Theta process / process \(\theta\)

Theta process, process \(\theta\), thetas

A process denoted by theta, often used for a trading strategy or coefficient in a stochastic integral.

The theta process is a time-dependent quantity denoted by \(\theta\), often representing a strategy, coefficient, or control process. In stochastic calculus it may appear inside an integral.

Such processes are used to describe dynamic trading rules and hedging positions. They are part of the mathematical structure behind replication arguments.

In this lecture, theta appears as the process used in the integral representation of the strategy. The speaker notes that the thetas considered here are constant.

status: candidate · lectures: 1

time to expiry

Time to expiry — это оставшееся время до истечения срока действия контракта.

Это интервал между текущим моментом и датой экспирации опциона или другого производного инструмента. В формулах его часто обозначают как T или τ.

Срок до экспирации влияет на стоимость опциона, вероятность исполнения и чувствительность цены к параметрам модели. Чем больше времени остаётся, тем больше возможных сценариев развития цены.

В лекции этот параметр используется при записи формул в зависимости от времени до истечения. Он нужен, чтобы показать, как цена и её производные меняются по мере приближения экспирации.

status: candidate · lectures: 1

Trading strategy / trading strategies

Trading strategy, trading strategies

A trading strategy is a rule for how to hold and rebalance assets over time.

A trading strategy specifies how many units of each asset are held at each time. It determines how the portfolio evolves as prices change.

Trading strategies are the building blocks of hedging and replication in the lecture. They are also the objects constrained by the self-financing condition.

The lecture introduces trading strategy as the first component of the portfolio setup and then discusses the strategies used in the model. It is the framework for the replicating portfolio construction.

status: candidate · lectures: 1

transaction costs

Transaction costs — это издержки, связанные с совершением сделок на рынке.

Это комиссии, спреды, проскальзывание и другие расходы, возникающие при торговле активом. Они увеличивают фактическую стоимость операций и уменьшают чистый результат стратегии.

Транзакционные издержки влияют на прибыльность хеджирования и торговых стратегий. В моделях они могут менять выводы о том, насколько часто выгодно ребалансировать позицию.

status: candidate · lectures: 2

transition density

transition density for a stock price, transition density function, transition density function for a stock price, transition PDF

Transition density — это плотность вероятности перехода случайного процесса из текущего состояния в будущее за заданное время.

Это функция, которая описывает распределение будущего значения процесса при условии его текущего состояния. Для цены акции она показывает, насколько вероятны разные будущие цены через заданный интервал.

Переходная плотность нужна для вычисления вероятностей, ожиданий и цен в моделях случайных процессов. Она связывает динамику процесса с его распределением во времени.

В лекции этот термин появляется при обсуждении переходной плотности для цены акции и её записи как transition PDF. Он служит основой для дальнейших рассуждений о распределении будущей цены.

status: candidate · lectures: 1

underlying

The underlying is the asset or instrument on which a derivative contract is written.

The underlying is the reference asset whose price determines the value of a derivative. In options, it is typically the stock, index, commodity, or other traded asset being modeled.

Derivative payoffs and pricing formulas are defined in relation to the underlying asset. Understanding which asset is underlying is essential for interpreting the contract and the model.

The lecture uses the underlying as the asset in the pricing setup and notes an assumption about its dividends. This keeps the focus on the stock-price dynamics.

status: candidate · lectures: 1

Underlying asset

underlying asset S, underlying security

An underlying asset is the asset that a derivative refers to and whose price helps determine the derivative’s value.

An underlying asset is the financial asset on which a derivative is based. In the lecture, it is denoted by S and described as the security that the derivative depends on.

The underlying asset is the main driver of a derivative’s payoff and pricing. Understanding it is essential for interpreting how the derivative behaves.

The lecture uses the underlying asset S as the reference asset in the derivative setup and in later pricing arguments.

status: candidate · lectures: 1

Vasicek model

The Vasicek model is a mean-reverting stochastic model for interest rates.

The Vasicek model is a mathematical model for interest rates in which the rate evolves randomly but tends to drift back toward a long-run average. It is a classic short-rate model in finance.

It provides a tractable way to model changing interest rates and to price interest-rate-sensitive securities. Its mean-reverting structure makes it useful for theoretical analysis.

In this lecture, the model is named in the discussion of stochastic interest rates and bond pricing.

status: candidate · lectures: 1

volatility

volatility of the stock

Volatility — это степень колебаний цены или доходности актива.

Это показатель того, насколько сильно и часто меняется цена или доходность актива. В финансах волатильность обычно используют как меру неопределенности и риска.

Волатильность является ключевым параметром в оценке опционов и в анализе рыночного риска. От нее зависят цена опциона и чувствительность к другим факторам.

status: candidate · lectures: 1

Zero-coupon bond

A zero-coupon bond is a bond that pays only its face value at maturity and no interim coupons.

A zero-coupon bond is a debt security that does not pay periodic interest. It is issued at a discount and pays a single amount at maturity.

Its price is closely tied to present value, making it a basic instrument for discounting and term-structure ideas. It is often used as a building block in fixed-income theory.

The lecture uses the zero-coupon bond as an example of a security whose price can be interpreted as the present value of a future payment.

status: candidate · lectures: 1